EL ORIGEN DE LOS NUMEROS ENTEROS

El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea; para contar cantidades utilizaba piedras, hacía marcas en los arboles o nudos en sogas. Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.

El hombre primitivo sólo era capaz de distinguir entre una cosa o muchas. Durante el proceso de hominización, a medida que aumenta su capacidad de abstracción, aprende a contar. El pensamiento matemático nació por la necesidad de enumerar las reses, contabilizar objetos y controlar el paso del tiempo. Para ninguna de estas actividades era preciso el cero. Contar es identificar los elementos de un conjunto, por ejemplo piedras, con un subconjunto {1,2,...,n} de los números naturales. Los números naturales cuentan y ordenan: uno, dos, tres, cuatro...

Los números naturales, no son suficientes cuando se quiere fijar una referencia. Es el caso de la temperatura ambiente o los tratos comerciales. Una deuda no se puede representar con un número natural, además el frío y el calor deben medirse en relación con algo. Hay que inventar una referencia y la manera de contar a ambos lados de esta: es el número cero, los naturales positivos y los negativos. El número cero apareció en Mesopotamia hacia el siglo III a.C., sin embargo, su primer cometido fue el de un dígito sin contenido, un posicionador, para diferenciar unas cantidades de otras. (por ejemplo, 1 de 10). Los números enteros cuentan respecto a una referencia: menos dos, menos uno, cero, uno, dos...

Se sabe que los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden restar o dividir; este hecho trajo como consecuencia la extensión del conjunto de los naturales. El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general, la operación de resta crea otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos, conocidos antiguamente como “números deudos” o “números absurdos”, que datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.

Hoy en día, los números enteros representan una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).

Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito, ..., -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3,... hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.

Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le tocan dos partes de las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar dos balines y regalar uno para que la repartición sea justa, o bien conseguir otros dos balines para que a cada uno le toquen tres.


REFLEXIONA Y RESPONDE:

¿Cómo leerías un libro como el Quijote sin números en las páginas?
¿Cómo encontrarías una dirección si las calles y avenidas no estuvieran enumeradas?
¿Qué referencia se utiliza para medir el nivel del mar?
¿Cuándo empezó a utilizarse el cero como punto de partida?
¿Cómo surgió el sistema métrico decimal?


AUN MÁS SOBRE LOS NÚMEROS ENTEROS…

Los conjuntos de los números naturales y enteros son los más próximos a la realidad humana inmediata, los que se usan en las operaciones sencillas de suma, resta y multiplicación. En esencia, los números naturales se emplean para contar los objetos de un conjunto, mientras que los enteros (que son los naturales más el cero y los números negativos) resultan de las operaciones de sustracción realizadas con los naturales.

De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por los elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,...}. Este conjunto se denota por la letra Z, e incluye como subconjunto al de los números naturales; es decir: N pertenece a Z.

El termómetro común permite efectuar lecturas en el conjunto de los números enteros, ya que expresa valores de temperatura positivos o negativos, sin considerar posibles cifras decimales.


REPRESENTANDO LOS NÚMEROS ENTEROS…

El conjunto de los números enteros se representa comúnmente como una serie de valores discretos marcados sobre una recta. Así, los números enteros no llenan la recta, sino que entre ellos existen infinitos puntos que no pertenecen a dicho conjunto. En esta distribución, se dice que, dados dos números enteros n y m, n es mayor o igual que m (n > m) si n - m es un número entero positivo o cero. En virtud de ello, el de los números enteros es un conjunto ordenado.


Los números enteros son positivos cuando se ubican a la derecha del cero en la recta numérica y se obtienen poniendo el signo + (más) delante de un número natural. Son negativos cuando están a la izquierda del cero, y se obtienen al poner el signo - (menos) delante de un número natural.

De esta manera tenemos dos conjuntos:

• Conjunto de números enteros positivos
• Conjunto de números enteros negativos


Los números enteros acotan todo lo que nos rodea, con pruebas sencillas podemos experimentar su aplicación en la vida cotidiana, desde la utilización de estos para medir distancias y temperaturas, hasta la encriptación del comercio electrónico y el cálculo del número de asistentes a una manifestación.

Empezamos por lo más sencillo: ¿cómo saber cuántas ovejas tenemos?, ó ¿cuántas se comió el lobo?. Hay que contar y para ello usamos los números naturales o números positivos: 1, 2, 3,…

¿Qué día es hoy? ¿Cuándo naciste? Hay que contar y ordenar, para lo que también usamos los números positivos: 0, 1, 2, 3,…

¿Cómo representar las temperaturas bajo cero? ¿Cómo contar cuando debemos más de lo que tenemos? Hay que contar a ambos lados de una referencia (el cero), y para ello usamos los números enteros positivos y negativos: …,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…


A continuación te presento una situación de aprendizaje donde tendrás que ayudar a Toloméo a solucionar su problema:

Un día de mucho trabajo Toloméo el mensajero de un edificio decide no subir más escaleras y aunque le daba pánico el ascensor decide optar por él, estando en el segundo piso debía realizar las siguientes tareas: subir siete pisos y entregar las flores para Martha la secretaria que se encontraba de cumpleaños, subir dos más y entregar el periódico a su jefe, descender tres para entregar al supervisor las cartas que le había enviado su jefe, este le ordena que descienda un piso y le lleve un tinto a su oficina, pero se equivoca y asciende tres, allí le entregan las llaves del aseo para que le abra a la señora que limpia, entonces desciende dos y entrega el tinto, sin querer asciende cuatro…….¡Oh Dios mío! me he vuelto loco no se en que piso me encuentro……

Ayuda a Toloméo a descubrir en que piso está.